已知函数f（x）=-13ex3+12x2+2ex，g（x）=f（x）-2ex+ex（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）求g（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0

Question

已知函数f（x）=-(1)/(3)ex³+(1)/(2)x²+(2)/(e)x，g（x）=f（x）-(2)/(e)x+e^x（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x），其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＞0时，求证：g′（x）≥1+lnx．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=-(1)/(3)ex³+(1)/(2)x²+(2)/(e)x，
f′（x）=-ex²+x+(2)/(e)=（-ex-1）（x-(2)/(e)），
f′（x）＞0得-(1)/(e)＜x＜(2)/(e)；f′（x）＜0得x＞(2)/(e)或x＜-(1)/(e)．
则f（x）在x=-(1)/(e)处取极小值，且为f(−(1)/(e))＝−(7)/(6e2)，
f（x）在x=(2)/(e)处取极大值，且为f((2)/(e))＝(10)/(3e2)．
（Ⅱ）g（x）=-(1)/(3)ex³+(1)/(2)x²+(2)/(e)x-(2)/(e)x+e^x（x-1）
=-(1)/(3)ex³+(1)/(2)x²+e^x（x-1），
g′（x）=-ex²+x+e^x（x-1）+e^x，
则g′（x）=x（e^x+1-ex），
令y=e^x+1-ex，则y′=ex-e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，
则y≥1．即e^x+1-ex＞0恒成立，
则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．
故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
（Ⅲ）证明：当x＞0时，1+lnx-g′（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
h′（x）=(1)/(x)+2ex-1-e^xx-e^x，
当x=1时，h′（x）=0，由（Ⅱ）得，e^x-ex≥0，
当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．
故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，
故当x＞0时，1+lnx-g′（x）≤0，即g′（x）≥1+lnx．