已知函数f（x）=10x-10-x10x+10-x，判断f（x）的奇偶性，单调性，并求出函数的值域．

Question

已知函数f（x）=(10x-10-x)/(10x+10-x)，判断f（x）的奇偶性，单调性，并求出函数的值域．

Answer 1

∵f（x）=(10x-10-x)/(10x+10-x)，
∴f（-x）=(10-x-10x)/(10-x+10x)=-(10x-10-x)/(10x+10-x)=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
∵f（x）=(10x-10-x)/(10x+10-x)=((10x)2-1)/((10x)2+1)=((10x)2+1-2)/((10x)2+1)=1-(2)/((10x)2+1)，
∴设t=10^x，则t>0，则函数t为增函数．
则函数等价为y=g（t）=1-(2)/(t2+1)，
∵t²+1在（0，+∞）上为增函数，
∴g（t）=1-(2)/(t2+1)在（0，+∞）上为增函数，
即函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∵g（t）=1-(2)/(t2+1)，
∴g（t）>g（0）=1-2=-1，故函数的值域为（-1，+∞）．