已知f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).求证(1)f(x)是奇函数(2)若f(-5)=a,试用a表示f(10)

Question

已知f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y). 求证(1)f(x)是奇函数 (2)若f(-5)=a,试用a表示f(10)

Answer 1

1、
令y=0 有f(x)=f(x)+f(0) ①
令y=-x 有f(0)=f(x)+(-x) ②
①②联立
f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)
-f(x)=f(-x)
∴f(x)是奇函数
2、
由1知f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x) 则
f(-5)=-f(5)=a
-f(5)=a
两边乘以-1
f(5)=-a
f(10)=f(5+5)=f(5)+f(5)=-2a
所以f(10)=-2a