高数多元函数问题D为xy平面上的区域,0≤x+y≤10,0≤x-y≤96,有二元函数f(x,y)=48x^2 +y^31.使z=(x+y)/2 w=(x-y)/2,用z和w表示区域D和 二元函数f(x,y)=48x^2 +y^32.对于上面得到的用z和w表示的二元函数f(x,y),证

Question

高数多元函数问题
D为xy平面上的区域,0≤x+y≤10,0≤x-y≤96,有二元函数f(x,y)=48x^2 +y^3


1.使z=(x+y)/2 w=(x-y)/2,用z和w表示区域D和 二元函数f(x,y)=48x^2 +y^3


2.对于上面得到的用z和w表示的二元函数f(x,y),证明q其对z的偏导数≥0


3.求 二元函数f(x,y)=48x^2 +y^3 在D上的极大极小值

Answer 1

你们是学的英文版的高数吗?既然都会翻译了,这道题目本身不难了,
1.由题意直接可得 X=Z+W,Y=Z-W,将这两个式子,代入到区域D的表示形式中,
由 0≤x+y≤10,0≤x-y≤96 变成0≤2Z≤10,0≤2W≤96,化简一下
为 0≤Z≤5,0≤W≤48.
同样,二元函数由f(x,y)=48x^2 +y^3 变成f(Z,W)=48(Z+W)^2 +(Z-W)^3
2.要证明,f(Z,W)=48(Z+W)^2+(Z-W)^3的偏导数≥0,则先要算出函数对Z的偏导数.
对Z的偏导数 =96(Z+W)+3(Z-W) ^2
这时候,注意Z,和W的范围,因为0≤Z≤5,0≤W≤48.这个式子结果明显≥0
所以,得证f(Z,W)=48(Z+W)^2 +(Z-W)^3的偏导数≥0
3.只要求f(x,y)的极大值极小值而不需要求对应的点,就更简单,因为只要求出f(Z,W)的极大极小值就行,结果一样.
f(Z,W)对Z的偏导数=96(Z+W)+3(Z-W) ^2
f(Z,W)对W的偏导数 =96(Z+W)-3(Z-W)^2,令这两个式子等于0,很容易看出,只有一组满足范围的解,即Z=W=0时,有极小值点,极小值为0.无极大值
换成X,Y,一样,也就是f(x,y)在（0,0）点有极小值0
抱歉,偏导数不会打,你应该看的明白“f(Z,W)对Z的偏导数”.