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已知函数f（x）=mlnx+8x-x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，-8]B.（-∞，-8）C.（-∞，-6]D.（-∞，-6）
题目详情
已知函数f（x）=mlnx+8x-x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A. （-∞，-8]
B. （-∞，-8）
C. （-∞，-6]
D. （-∞，-6）
▼优质解答
答案和解析
f′（x）=
+8-2x=
，
令g（x）=-2x2+8x+m，
若函数f（x）=mlnx+8x-x2在[1，+∞）上单调递减，
则-2x2+8x+m≤0在[1，+∞）成立，
则m≤2x2-8x在[1，+∞），
令h（x）=2x2-8x，x∈[1，+∞），
h′（x）=4x-8，令h′（x）>0，解得：x>2，
令h′（x）<0，解得：1≤x<2，
故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故h（x）min=h（2）=-8，
故m≤-8，
故选：A．
| m |
| x |
| -2x2+8x+m |
| x |
令g（x）=-2x2+8x+m，
若函数f（x）=mlnx+8x-x2在[1，+∞）上单调递减，
则-2x2+8x+m≤0在[1，+∞）成立，
则m≤2x2-8x在[1，+∞），
令h（x）=2x2-8x，x∈[1，+∞），
h′（x）=4x-8，令h′（x）>0，解得：x>2，
令h′（x）<0，解得：1≤x<2，
故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故h（x）min=h（2）=-8，
故m≤-8，
故选：A．
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