已知函数f（x）=12x2-mlnx．（1）若函数f（x）在（12，+∞）上是递增的，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Question

已知函数f（x）=(1)/(2)x²-mlnx．
（1）若函数f（x）在（(1)/(2)，+∞）上是递增的，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）若函数f（x）在（(1)/(2)，+∞）上是增函数，
则f′（x）≥0在（(1)/(2)，+∞）上恒成立．                
而f′（x）=x-(m)/(x)，即m≤x²在（(1)/(2)，+∞）上恒成立，
可得m≤(1)/(4)．
（2）当m=2时，f′（x）=x-(2)/(x)=(x2-2)/(x)，
令f′（x）=0得x=±√(2)，
当x∈[1，√(2)）时，f′（x）<0，当x∈（√(2)，e）时，f′（x）>0．
故x=√(2)是函数f（x）在[1，e]上唯一的极小值点，
故f（x）_min=f（√(2)）=1-ln2，
又f（1）=(1)/(2)，f（e）=(1)/(2)e²-2=(e2-4)/(2)>(1)/(2)，
故f（x）_max=(e2-4)/(2)．