已知函数f（x）=lnx-14x+34x-1，g（x）=x2-2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A.（2，178]B.[1，+∞）C.[178，+∞）D.[2，+∞）

Question

已知函数f（x）=lnx-(1)/(4)x+(3)/(4x)-1，g（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b的取值范围是（　　）
A. （2，(17)/(8)]
B. [1，+∞）
C. [(17)/(8)，+∞）
D. [2，+∞）

Answer 1

∵函数f（x）=lnx-(1)/(4)x+(3)/(4x)-1，（x＞0）
∴f′（x）=(1)/(x)-(1)/(4)+(-3)/(4x2)=(4x-x2-3)/(4x2)=-((x-1)(x-3))/(4x2)，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-(1)/(4)+(3)/(4)-1=-(1)/(2)；
∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²；
当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当b＜1时，-(1)/(2)≥5-2b，解得b≥(11)/(4)，故b无解；当b＞2时，-(1)/(2)≥8-4b，解得b≥(17)/(8)，
综上：b≥(17)/(8)，
故选C；