函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围为．

Question

函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=(1)/(x)+a（x>0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，
∴方程(1)/(x)+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a=2-(1)/(x)在区间x∈（0，+∞）上有解．
∴a<2．
若直线2x-y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x₀，2x₀）．
则

(1)/(x0)+a=2

2x0=lnx0+ax0

，解得x₀=e．
此时a=2-(1)/(e)．
综上可知：实数a的取值范围是（-∞，2-(1)/(e)）∪（2-(1)/(e)，2）．
故答案为：（-∞，2-(1)/(e)）∪（2-(1)/(e)，2）．