已知函数f(x)=lnx,g(x)=x^2/2-bx+1(b为常数)（1）函数f(x)的图像在点（1,f（1））处的切线与函数g（x）的图像相切,求实数b的值(2)若b=0,h(x)=f(x)-g(x),存在x1,x2属于[1,2]使得h(xl)-h(x2)>=M成立,求满足上述条

Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x^2/2-bx+1(b为常数) （1）函数f(x)的图像在点（1,f（1））处的切线与函数g（x）的图像相切,求实数b的值(2)若b=0,h(x)=f(x)-g(x),存在x1,x2属于[1,2]使得h(xl)-h(x2)>=M成立,求满足上述条件的最大整数M

Answer 1

原题是:已知函数f(x)=lnx,g(x)=(1/2)x^2-bx+1(b为常数)
(1)函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图像相切,求实数b的值;
(2)若b=0,h(x)=f(x)-g(x),存在x1、x2∈[1,2]使得h(xl)-h(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M.
解:(1)f(1)=0, f'(x)=1/x(x>0) f'(1)=1
(1,f(1))处的切线:y=x-1
由 y=x-1 和 y=(1/2)x^2-bx+1 消去y化简得
x^2-(2b-2)x+4=0
由已知得 (2b-2)^2-16=0
解得 b=-1 或 b=3
(2)b=0
h(x)=lnx-(1/2)x^2-1
h'(x)=(1/x)-x=-(x-1)(x+1)/x (x>0)
x∈(1,2)时, h'(x)