请教2个关于三角函数的问题（1）若关于x的方程3sinx+4cosx=a在区间(0,2π)内有两个相异实根p,q,求实数a和p+q的值.（2）方程cos2x+2sinx+2m-3=0在[0,2π)上恰有两个相异的实数根,求m的取值范围.这类问题

Question

请教2个关于三角函数的问题
（1）若关于x的方程3sinx+4cosx=a在区间(0,2π)内有两个相异实根p,q,求实数a和p+q的值.
（2）方程cos2x+2sinx+2m-3=0在[0,2π)上恰有两个相异的实数根,求m的取值范围.
这类问题都不是很会.

Answer 1

(1)3sinx+4cosx=5sin(x+θ)=a;θ=arcsin4/5
x+θ∈(arcsin4/5,2π+arcsin4/5)
sin(x+θ)=a/5两个相异实根p,q
∴a/5∈(-1,1)且≠4/5
即a∈(-5,5)且≠4
两个相异实根p,q关于x+θ=π/2,或x+θ=3π/2对称
∴p+q=π/2-arcsin4/5,或3π/2-arcsin4/5
(2)cos2x+2sinx+2m-3=0
1-2sinx^2+2sinx+2m-3=0
sinx^2-sinx-m+1=0
方程在[0,2π)上恰有两个相异的实数根,就是说关于t的方程：t^2-t-m+1=0在(-1,1)有一个解
1、△=1-4(-m+1)=0→m=3/4
2、{△＞0
f(1)=-m+1＜0
f(-1)=-m+3＞0
解得：1＜m＜3
综上所述,1＜m＜3或m=3/4