已知函数y=x3+3px2+3px+1．（1）试问该函数能否在x=-1处取到极值？若有可能，求实数p的值；否则说明理由；（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，求实数p的取值范围．

Question

已知函数y=x³+3px²+3px+1．
（1）试问该函数能否在x=-1处取到极值？若有可能，求实数p的值；否则说明理由；
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

（1）该函数不能在x=-1处取到极值，理由如下：
假设存在x=-1处取到极值，则此处导数为0，
y=x³+3px²+3px+1，y'=3x²+6px+3p，
若该函数能在x=-1处取到极值，则y'|_x=-1=3-6p+3p=0，
即p=1，此时，y'=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，函数为单调函数，这与
该函数能在x=-1处取到极值矛盾，则该函数不能在x=-1处取到极值．
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，
则在区间（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，
①

−p≤−1

f′(−1)＝3−6p+3p≥0

⇒p＝1；
②

−p>−1

f′(−p)＝3p−3p2≥0

⇒0≤p<1，
综上可知，0≤p≤1．则p的取值范围是[0，1]