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f(x)在无穷区间(x0,+∞)内可导,且lim(x→+∞)f'(x)=0,证明:lim(x→+∞)(f(x)/x)=0
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f(x)在无穷区间(x0,+∞)内可导,且lim(x→+∞)f'(x)=0,证明:lim(x→+∞)(f(x)/x)=0
▼优质解答
答案和解析
由洛比达法则直接可得
lim(x->+∞) f(x)/x=lim(x->+∞) f'(x)/1
=lim(x->+∞) f'(x) =0
如果不知道洛比达法则,则可用中值定理来做
f'(x)->0,x->+∞,∴对任意ε>0,存在A使得
x>A时,有|f'(x)|A,存在ξ∈(A,x)
使得|(f(x)-f(A))/(x-A)|=|f'(ξ)|
lim(x->+∞) f(x)/x=lim(x->+∞) f'(x)/1
=lim(x->+∞) f'(x) =0
如果不知道洛比达法则,则可用中值定理来做
f'(x)->0,x->+∞,∴对任意ε>0,存在A使得
x>A时,有|f'(x)|A,存在ξ∈(A,x)
使得|(f(x)-f(A))/(x-A)|=|f'(ξ)|
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