若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x0．（1）函数f（x）=1x是否有“飘移点”？请说明理由；（2）证明函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点

Question

若在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x₀．
（1）函数f（x）=(1)/(x)是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数f（x）=x²+2^x在（0，1）上有“飘移点”；
（3）若函数f（x）=lg（(a)/(x2+1)）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）假设函数f(x)＝(1)/(x)有“飘移点”x₀，则(1)/(x0+1)＝(1)/(x0)+1即x02+x0+1＝0由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f(x)＝(1)/(x)没有飘移点．                
（2）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），所以h（0）=-1，h（1）=2．所以h（0）h（1）＜0．
所以h(x)＝0在(0，1)上至少有一实根x0，即函数f(x)＝2x+x2有“飘移点”．
（3）若f(x)＝1g((a)/(x2+1))在(0，+∞)上有飘移点x₀，
即有1g(a)/((x0+1)2+1)＝1g((a)/(x02+1))+1g(a)/(2)成立，即(a)/((x02+1)2+1)＝(a)/(x02+1)•(a)/(2)．
整理得(2−a)x02−2ax0+2−2a＝0，从而关于x的方程g（x）=（2-a）x²-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实数根x₀．
当a=2时，方程的根为−(1)/(2)，不符合要求，所以a＞0，
当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴x＝(a)/(2−a)＞0，可知只需4a²-4（2-a）（2-2a）≥0，
所以3−√(5)≤a≤3+√(5)，即3-√(5)≤a＜2．
所以a的范围是[3−√(5)，2）．