在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF，（点E、F为折痕与矩形ABCD边的交点），再将纸片还原．（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重

Question

在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF，（点E、F为折痕与矩形ABCD边的交点），再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF___；当点E与点A重合时，∠DEF=___；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形DEPF的边长．
（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．

Answer 1

（1）①当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90°，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF=(1)/(2)∠DAB=45°，
故答案为：90°，45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE（ASA），
∴DF=PE，
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴▱DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，则AE=7-x，DE=x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²，
∴6²+（7-x）²=x²，
x=(85)/(14)，
∴当AP=7时，设菱形的边长为(85)/(14)；
（2）若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，
如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，
由折叠得：CD=PC=8，
由勾股定理得：AC=√(62+82)=10，
∴AP=10-8=2，
则AP的最小值是2．