若a＞0，b＞0均为常数，则limx→0(ax+bx2)3x=(ab)32(ab)32．

Question

若a＞0，b＞0均为常数，则

lim

x→0

((ax+bx)/(2))(3)/(x)=

(ab)(3)/(2)

(ab)(3)/(2)

．

Answer 1

方法一：
利用两个重要极限中的公式：

lim

x→∞

(1+(1)/(x))x＝e
利用变量代换：
可以得到更一般的形式：

lim

α(x)→0

(1+α(x))(1)/(α(x))＝e
∵(ax+bx)/(2)＝1+(ax+bx−2)/(2)
且有

lim

x→0

(ax+bx−2)/(2)＝0
∴

lim

x→0

((ax+bx)/(2))(3)/(x)=

lim

x→0

(1+(ax+bx−2)/(2))(2)/(ax+bx−2)•(ax+bx−2)/(2)•(3)/(x)
=e(3)/(2)

lim

x→0

(ax+bx−2)/(x)
=e(3)/(2)

lim

x→0

(axlna+bxlnb)/(1)
=e(3)/(2)lnab
=(ab)(3)/(2)
故答案为：(ab)(3)/(2)
方法二：
利用指数函数和相应的对数函数互为反函数，
将函数极限等价变形为以自然对数e为底的形式，
<

作业帮用户 2016-11-18