已知函数f（x）=ax2-bx+lnx，a，b∈R．（1）当a=b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当b=2a+1时，讨论函数f（x）的单调性．

Question

已知函数f（x）=ax²-bx+lnx，a，b∈R．
（1）当a=b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当b=2a+1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）因为a=b=1，所以f（x）=x²-x+lnx，
从而f'（x）=2x-1+(1)/(x)
因为f（1）=0，f′（1）=2，
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-0=2（x-1），即2x-y-2=0
（2）因为b=2a+1，所以f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，从而
f'（x）=2ax-（2a-1）+(1)/(x)=((2ax-1)(x-1))/(x)，x>0；
当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）>0，x∈（1，+∞）时，f′（x）<0，
所以，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
当0<a<(1)/(2) 时，由f'（x）>0得0<x<1 或x>(1)/(2a)，由f'（x）<0 得1<x<(1)/(2a)
所以f（x）在区间（0，1）和区间（(1)/(2a)，+∞）上单调递增，在区间 （1，(1)/(2a)）上单调递减．
当a=(1)/(2) 时，因为f'（x）≥0（当且仅当x=1时取等号），
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当a>(1)/(2) 时，由f'（x）>0得0<x<(1)/(2a)或x>1，由f'（x）<0 得(1)/(2a)<x<1，
所以f（x）在区间（0，(1)/(2a)）和区间（1，+∞）上单调递增，在区间（(1)/(2a)，1）上单调递减．