x^5+1因式分解x^2+(x+1)^2+(x+1)^2因式分解

Question

x^5+1因式分解
x^2+(x+1)^2+(x+1)^2因式分解

Answer 1

我们将问题放在实数范围内讨论.
x^n+1因式分解所得的一次因式,必是(x+1),
分解所得的二次因式,必是(x^2+1)或(x^2+mx+1),其中m是常数.
一般说来,n是奇数时,有一个一次因式,其余是二次因式；
n是偶数时,只有二次因式,没有一次因式.
n=3时,可以用公式：x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
n=4时,可以用配方法：
x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=[x^2+(√2)x+1] [x^2-(√2)x+1]；
也可以用待定系数法：
设x^4+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=0,ab+2=0,解得a=√2,b=-√2,
所以x^4+1=[x^2+(√2)x+1] [x^2-(√2)x+1]
n≥5时,一般要用待定系数法.
n=5时,n^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)
设x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=-1,ab+2=1,解得a=(-1+√5)/2,b=(-1-√5)/2,
所以x^5+1=(x+1)[x^2+(-1+√5)x/2+1][x^2+(-1-√5)x/2+1]
n=6时,n^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1),用待定系数法：
设x^4-x^2+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1
则a+b=0,ab+2=-1,解得a=√3,b=-√3,
所以x^6+1=(x^2+1)[x^2+(√3)x+1][x^2-(√3)x+1]
随着n增大,难度也加大,用待定系数法可以列出方程组,
例n=7时,n^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)
设x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2+ax+1)(x^4+bx^3+cx^2+dx+1)
=x^6+(a+b)x^5+(ab+c+1)x^4+(ac+b+d)x^3+(ad+c+1)x^2+(a+d)x+1
则a+b=-1,ab+c+1=1,ac+b+d=-1,ad+c+1=1,a+d=-1
但a、b、c、d用通常方法解不出来.
原式-12=[(x²+x)+1][(x²+x)+2]-12
=(x²+x)²+3(x²+x)+2-12
=(x²+x)²+3(x²+x)-10
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x-1)(x+2)
原式=(x²+x+5)(x-1)(x+2)+12