关于一元N次多项式的分解因式以及其他在学不等式的时候老师给我们讲了关于高次多项式分解因式的方法.比如X^3-4X^2+5X-2分解因式,让我们用三种方法.目前我会用拆项添项的方法分解.他讲的"

Question

关于一元N次多项式的分解因式以及其他
在学不等式的时候老师给我们讲了关于高次多项式分解因式的方法.
比如X^3-4X^2+5X-2分解因式,让我们用三种方法.
目前我会用拆项添项的方法分解.
他讲的"找有理根"(就是用常数项的约数除以最高次项的约数,然后把结果带进去验证的那个.)的方法我还是不明白...
比如此题可以得到±1\±2的有理根,验证之后该怎么做呢?
然后,还有待定系数法的方法....
这个我不理解..
有什么规律么?
怎样设系数呢?
请高手帮忙
最后他让推导一元3次\4次\N次方程的根与系数关系....
谁有完全的过程请给一下...
没有就算了...
估计我说得不清楚..
希望大家帮忙...有什么疑问可以提出来....
谢谢
请大家说一下待定系数法怎样判断分解因式的形式啊?
谢谢楼下
我意思待定系数法是不是要分成一个(nX+a)和一个比原式次数低一级的因式
如X^4-4X^3+5X^2-2X+2
是不是就要设(x+a)(x^3+bx^2+cx+d)呢?...
或者是其他的形式?

Answer 1

个人觉得中学阶段你说的有理根法最好用，过程第一步就是你上面说的
比如此题可以得到±1\±2的有理根,验证之后该怎么做呢?
下来就是将这4个数带进去，看看哪个数为0，比如这个题x=1时，原式=0
这样就可以得到原式有因式（x-1),然后用原式除以这个就能分解。
这个用到一个定理不知道你知道不，就是如果有x=a令f(a)=0,那么f(x)有因式(x-a)
待定系数法就是说设原式=（x+a)(x^2+bx+c),因为x^3一项系数是一，所以这么设，然后将它展开和原式对比系数列出3个方程就可以解出a,b,c,然后判断后边那个2次的能不能进一步分解，如果a,b,c无解就说明原式无法分解。
一元n次方乘根与系数关系这么推倒，以3次为例，设3个根为x1,x2,x3
则任意ax^3+bx^2+cx+d就可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。
4次及n次方程类似。
基本就这些了，还不会什么发消息
四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)(x^3+bx^2+cx+d)，如果可以解出未知数，就可以继续分解后面那项，如果这样不行，则要设原式=（x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 再来看看有没有解，如果还是没有解，那必然无法在实数范围内分解。
因为这两个括号里的2此也许都无法在实数范围内进一步分解，所以只设上面那一种=(x+a)(x^3+bx^2+cx+d)，无法包括这种情况。
高次的待定系数法我认为也要类似这么讨论