如何用特殊值法分解因式x^3+9x^2+23x+15将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例如在分

Question

如何用特殊值法 分解因式x^3+9x^2+23x+15
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
如果最高项次数不是1怎么办?如果带入10,则出现结果为2143=3*5*11*13,结果是何值呢?

Answer 1

注意到多项式中最高项的系数为1,在x=2时的值,3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,
如果带入10,则出现结果为2143=15*11*13,结果是何值呢?
在x=10时的值11 13、15 .（注：最高项为3次方,分解成3个数） 分别为x+1,x+3,x+5,则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
如果最高项次数不是1怎么办?例如：2x^3+x^2-2x-1
将2代入x ,16+4-4-1=15=3×5 ×1（最高项为3次方,分解成3个数）
在x=2时的值,1、3、5、分别为x-1,x+1,2x+1（最高项次数出现在x前面）
2x^3+x^2-2x-1=（x-1）（x+1）（2x+1）