设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z∂x∂y．

Question

设z=f（e^xsiny，x²+y²），其中f具有二阶连续偏导数，求(∂2z)/(∂x∂y)．

Answer 1

∵z=f（e^xsiny，x²+y²），
∴(∂z)/(∂x)＝f′1•[exsiny]x+f′2•[x2+y2]x=e^xsinyf′₁+2xf′₂，
进一步得：(∂2z)/(∂x∂y)＝(∂)/(∂y)((∂z)/(∂x))=[e^xsinyf'₁]_y+[2xf′₂]_y
=ex[cosyf′1+siny•(∂f′1)/(∂y)]+2x(∂f′2)/(∂y)
=excosyf′1+exsiny•[f″11•excosy+f″12•2y]+2x[f″21•excosy+f″22•2y]
=e2xsinycosyf″11+2ex(ysiny+xcosy)f″12+4xyf″22+excosyf′1，