如果n阶矩阵A满足A^2-5A=-6I,则A相似于对角矩阵.希望老师教我解答!

Question

如果n阶矩阵A满足A^2-5A=-6I,则A相似于对角矩阵.希望老师教我解答!

Answer 1

由已知 (A-6E)(A+E)=0
所以 A 的特征值只能是 6, -1
且有 r(A-6E)+r(A+E) = r((A-6E) - (A+E)) = r(-7E) = n
所以 r(A-6E)+r(A+E) = n
所以 A 有n个线性无关的特征向量
-- 分别属于特征值 6,-1的线性无关的特征向量个数为 n-r(A-6E), n-r(A+E)
所以A相似于对角矩阵