在任意三角形ABC的外部作三角形BPC,使∠PBC=∠CAQ=45度,∠BCP=∠QCA=30度,∠ABR=∠BAR=15度.求证：（1）RP=RQ（2）∠PRQ=90度

Question

在任意三角形ABC的外部作三角形BPC,使∠PBC=∠CAQ=45度,∠BCP=∠QCA=30度,∠ABR=∠BAR=15度.求证：（1）RP=RQ （2）∠PRQ=90度

Answer 1

作正三角形ARS,连BS,QS ∵RB=RA=RS,∴R为△ABS外接圆圆心 ∴∠SAB=1/2∠SRB=45,∠SBA=1/2∠SRA=30 ∴△SAB∽△PBC∽△QAC ∴AS/AQ=AB/AC 又∵∠SAQ=∠BAC=45+∠SAC ∴△SAQ∽△BAC ∴∠ASQ=∠ABC ∴∠RSQ=∠RBP=60+∠BAC ∵PB/BC=SA/AB=SQ/BC ∴PB=SQ 又RS=RB ∴△BPR≌△SQR ∴RP=RQ 同时∠SRQ=∠BRP ∵∠BRS=∠BRA-∠SRA=150-60=90 ∴∠PRQ=90 ∴RP⊥RQ