已知三角形的外接圆的半径r,将内角a有1度开始,每次增加一度,直到增加到90读为止,那么得到的一系列三角形的内角a的对边的平方总和是什么

Question

已知三角形的外接圆的半径r,将内角a有1度开始,每次增加一度,直到增加到90读为止,
那么得到的一系列三角形的内角a的对边的平方总和是什么

Answer 1

为了计算方便；令角a的一条边为圆的直径；则让角a从1度增加到90度；因为该三角形为直角三角形（直径所对的圆周角为直角）；
当a=1度时,对边为:2rsin1°；
当a=2度时,对边为:2rsin2°；
……　　　,　　……
当a=89度时,对边为:2rsin89°；
当a=90度时,对边为:2rsin90°；
所以：每次a对边的平方和＝4r^2[sin^2(1°)+sin^2(2°)+sin^2(3°)+……+sin^2(89°)+sin^2(90°)]
因为sin^2(1°)+sin^2(89°)=1 ,sin^2(2°)+sin^2(88°)=1 　　,sin^2(3°)+sin^2(87°)=1 ；
sin^2(44°)+sin^2(46°)=1 　,sin^2(45°)=1/2
所以平方和=4r^2[44+1/2+1]=182r^2