已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=abn，求数列{cn}的前n项和Tn，并证明Tn≥1．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_bn，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明T_n≥1．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）2=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1亦满足上式，故an=2n-1，（n∈N^*）．     
数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）．    
（Ⅱ）证明：c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=(2(1−2n))/(1−2)−n
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．     
∵T_n-T_n-1=2ⁿ-1＞0，∴T_n＞T_n-1，∴T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
∴T_n≥1．