已知：{an}中,a（n+1）=1/16[1+4an+根号（1+24an）],a1=1,求an.注：这里输入不了公式,只好以文字代替.a（n+1）为数列中的第n+1项,括号中的n+1为下标,同样an为第n项,n也是下标.根号里面是（1+24an）,是平

Question

已知：{an}中,a（n+1）=1/16[1+4an+根号（1+24an）],a1=1,求an.
注：这里输入不了公式,只好以文字代替.a（n+1）为数列中的第n+1项,括号中的n+1为下标,同样an为第n项,n也是下标.根号里面是（1+24an）,是平方根.

Answer 1

令bn=sqrt(1+24an),变形得an=1/24(bn2-1) (1)
1/24(bn+12-1)=1/16[1+4/24(bn2-1)+bn]
4bn+12=(bn+3)2 bn>0
2bn+1=bn+3,
bn+1=bn/2+3/2 (2)
bn+1-3=(bn-3)/2 (3)
由a1=1 得b1=5
bn=(b1-3)(1/2)n-1+3=22-n+3
an=1/24[(22-n+3)2-1]