已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且S1，S3，S9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Tn为数列{1an+1an}的前n项和，求Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且S₁，S₃，S₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{(1)/(an+1an)}的前n项和，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，则（3+3d）²=9+36d，
即d（d-2）=0，∴d=0或d=2，
当d=0时，a_n=1；
当d=2时，a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，当a_n=1时，T_n=n；
当a_n=2n-1时，T_n=(1)/(1×3)+(1)/(3×5)+…+(1)/((2n-1)(2n+1))
=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)）
=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）
=(n)/(2n+1)．