已知公比为q的等比数列{an}的前6项和为S6=21，且4a1、32a2、a2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan，其前n项和为Tn，求Tn．

Question

已知公比为q的等比数列{a_n}的前6项和为S₆=21，且4a₁、(3)/(2)a₂、a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(n)/(an)，其前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（1）∵4a₁、(3)/(2)a₂、a₂成等差数列，
∴3a₂=4a₁+a₂，
即有a₂=2a₁，
∴q=(a2)/(a1)=2，
当q=2时，S₆=(a1(1-26))/(1-2)=21，
∴a₁=(1)/(3)．
∴a_n=(1)/(3)•2^n-1．
（2）b_n=(n)/(an)=3n•（(1)/(2)）^n-1，
则T_n=3[1+2•(1)/(2)+3•(1)/(4)+…+n•（(1)/(2)）^n-1]，①
(1)/(2)T_n=3[1•(1)/(2)+2•(1)/(4)+3•(1)/(8)+…+n•（(1)/(2)）ⁿ]，②
①-②可得，(1)/(2)T_n=3[1+(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+…+（(1)/(2)）^n-1-n•（(1)/(2)）ⁿ]
=3[（(1-(1)/(2n))/(1-(1)/(2))-n•（(1)/(2)）ⁿ]，
化简可得，T_n=12-(3n+6)/(2n-1)．