已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=6，S5=50，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn+12bn＝1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{bn}为等比数列；（Ⅲ）记cn＝14an•bn，数列{cn}的前n项和

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=6，S₅=50，数列{b_n}的前n项和T_n满足Tn+(1)/(2)bn＝1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）记cn＝(1)/(4)an•bn，数列{c_n}的前n项和为R_n，若R_n＜λ对n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由S5＝(5(a1+a5))/(2)＝5a3＝50得a₃=10，
又a₂=6，所以d=4，a₁=2，所以a_n=2+4（n-1），所以a_n=4n-2…（3分）
（Ⅱ）证明：由Tn+(1)/(2)bn＝1①，
令n=1，得b1＝(2)/(3)，
当n≥2时Tn−1+(1)/(2)bn−1＝1②
①-②得Tn−Tn−1+(1)/(2)(bn−bn−1)＝0，整理得bn＝(1)/(3)bn−1(n≥2)
故{b_n}是以b1＝(2)/(3)为首项，(1)/(3)为公比的等比数列．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn＝2((1)/(3))n，故cn＝(1)/(4)(4n−2)×2((1)/(3))n＝(2n−1)/(3n)
所以Rn＝(1)/(3)+(3)/(32)+(5)/(33)+…+(2n−1)/(3n)，两边同乘以(1)/(3)得(1)/(3)Rn＝(1)/(32)+(3)/(33)+…+(2n−3)/(3n)+(2n−1)/(3n+1作业帮用户2017-09-28举报问题解析（I）利用等差数列的求和公式，结合a2=6，S5=50，求出首项与公差，可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用递推式，再写一式，两式相减，可证明数列{bn}为等比数列；（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相减法求和，即可求λ的最小值．名师点评本题考点：等比关系的确定；等差数列的前n项和；数列的求和．考点点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)