已知数列{an}的首项a1=1前n项和Sn满足Sn+1=Sn+an+1，n∈N*，数列{bn}的前n项和Tn=1-13bn（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Cn=an•bn，①求数列{cn}前n项和Pn；②证明：当且仅当n≥2时

Question

已知数列{a_n} 的首项a₁=1前n项和S_n满足S_n+1=S_n+a_n+1，n∈N^*，数列{b_n}的前n项和T_n=1-(1)/(3)b_n
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=a_n•√(bn)，
    ①求数列{c_n}前n项和P_n；  
    ②证明：当且仅当n≥2时，c_n+1＜c_n．

Answer 1

（Ⅰ）由于S_n+1=S_n+a_n+1，
∴S_n+1-S_n=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n        …（2分）
又当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=1-(1)/(3)b_n-1+(1)/(3)b_n-1，
∴4b_n=b_n-1，
又b₁=1-(1)/(3)b₁，∴b₁=(3)/(4)，
∴数列{b_n}是等比数列，其首项为(3)/(4)，公比为(1)/(4)，
∴b_n=3•((1)/(4))n…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知c_n=a_n•√(bn)=(√(3)n)/(2n)，
∴P_n=√(3)（(1)/(2)+(2)/(22)+…+(n)/(2n)），
∴(1)/(2)P_n=√(3)（