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正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,P为AC上一点,连接BP,过点P作BP⊥PE,PE交直线CD于E.(1)当点P在AO上时,求证:PC-PA=根号2CE(2)当点P在OC上时,猜想PC、PA、CE之间满足的关系,并证明你的猜想.没有省
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正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,P为AC上一点,连接BP,过点P作BP⊥PE,PE交直线CD于E.
(1)当点P在AO上时,求证:PC-PA=根号2CE
(2)当点P在OC上时,猜想PC、PA、CE之间满足的关系,并证明你的猜想.
没有省略的地方.
知识点要十九章四边形的知识解答……
(1)当点P在AO上时,求证:PC-PA=根号2CE
(2)当点P在OC上时,猜想PC、PA、CE之间满足的关系,并证明你的猜想.
没有省略的地方.
知识点要十九章四边形的知识解答……
▼优质解答
答案和解析
第一个问题:
延长EP交DA的延长线于F,过E作EG⊥CE交AC于G.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP=∠ECG=45°,又EG⊥EC,∴∠CGE=45°、GC=√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP=∠BCP=45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP=∠BCP,∴EP=BP.
∵∠CGE=45°,∴∠EGP=180°-∠CGE=135°.
∵∠BAP=45°、∠EGP=135°,∴∠BAP+∠EGP=180°,又BP=EP,
∴△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AF⊥AB、AB∥EC,∴AF⊥EC,又EG⊥EC,∴AF∥GE,
∴∠AFP=∠GEP.
∵BA⊥AF、BP⊥PF,∴A、F、B、P共圆,∴∠AFP=∠ABP,而∠AFP=∠GEP,
∴∠ABP=∠GEP,又△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆,∴PA=PG.
显然有:PC-PG=GC,而PG=PA、GC=√2CE,∴PC-PA=√2CE.
第二个问题:PA-PC=√2CE.
[证明]
延长EP交AD于M,过E作EN⊥CE交AC的延长线于N.
∵ABCD是正方形,∴∠ACD=45°,∴∠ECN=45°,又EN⊥CE,∴∠N=45°、CN=√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP=∠BCP=45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP=∠BCP,∴EP=BP.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP=45°.
∵∠BAP=∠ENP=45°、BP=EP,∴△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AM⊥BA,又PM⊥PB,∴A、B、P、M共圆,∴∠DMP=∠ABP.
∵ABCD是正方形,∴MD⊥CE,又EN⊥CE,∴MD∥EN,∴∠DMP+∠NEP=180°,
∴∠ABP+∠NEP=180°,又△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆,∴PA=NP.
显然有:NP=PC+CN,∴NP-PC=CN,又NP=PA、CN=√2CE,∴PA-PC=√2CE.
延长EP交DA的延长线于F,过E作EG⊥CE交AC于G.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP=∠ECG=45°,又EG⊥EC,∴∠CGE=45°、GC=√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP=∠BCP=45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP=∠BCP,∴EP=BP.
∵∠CGE=45°,∴∠EGP=180°-∠CGE=135°.
∵∠BAP=45°、∠EGP=135°,∴∠BAP+∠EGP=180°,又BP=EP,
∴△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AF⊥AB、AB∥EC,∴AF⊥EC,又EG⊥EC,∴AF∥GE,
∴∠AFP=∠GEP.
∵BA⊥AF、BP⊥PF,∴A、F、B、P共圆,∴∠AFP=∠ABP,而∠AFP=∠GEP,
∴∠ABP=∠GEP,又△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆,∴PA=PG.
显然有:PC-PG=GC,而PG=PA、GC=√2CE,∴PC-PA=√2CE.
第二个问题:PA-PC=√2CE.
[证明]
延长EP交AD于M,过E作EN⊥CE交AC的延长线于N.
∵ABCD是正方形,∴∠ACD=45°,∴∠ECN=45°,又EN⊥CE,∴∠N=45°、CN=√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP=∠BCP=45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP=∠BCP,∴EP=BP.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP=45°.
∵∠BAP=∠ENP=45°、BP=EP,∴△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AM⊥BA,又PM⊥PB,∴A、B、P、M共圆,∴∠DMP=∠ABP.
∵ABCD是正方形,∴MD⊥CE,又EN⊥CE,∴MD∥EN,∴∠DMP+∠NEP=180°,
∴∠ABP+∠NEP=180°,又△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆,∴PA=NP.
显然有:NP=PC+CN,∴NP-PC=CN,又NP=PA、CN=√2CE,∴PA-PC=√2CE.
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