正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,P为AC上一点,连接BP,过点P作BP⊥PE,PE交直线CD于E.（1）当点P在AO上时,求证：PC-PA=根号2CE（2）当点P在OC上时,猜想PC、PA、CE之间满足的关系,并证明你的猜想.没有省

Question

正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,P为AC上一点,连接BP,过点P作BP⊥PE,PE交直线CD于E.
（1）当点P在AO上时,求证：PC-PA=根号2CE
（2）当点P在OC上时,猜想PC、PA、CE之间满足的关系,并证明你的猜想.
没有省略的地方.
知识点要十九章四边形的知识解答……

Answer 1

第一个问题：
延长EP交DA的延长线于F,过E作EG⊥CE交AC于G.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP＝∠ECG＝45°,又EG⊥EC,∴∠CGE＝45°、GC＝√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP＝∠BCP＝45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP＝∠BCP,∴EP＝BP.
∵∠CGE＝45°,∴∠EGP＝180°－∠CGE＝135°.
∵∠BAP＝45°、∠EGP＝135°,∴∠BAP＋∠EGP＝180°,又BP＝EP,
∴△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AF⊥AB、AB∥EC,∴AF⊥EC,又EG⊥EC,∴AF∥GE,
∴∠AFP＝∠GEP.
∵BA⊥AF、BP⊥PF,∴A、F、B、P共圆,∴∠AFP＝∠ABP,而∠AFP＝∠GEP,
∴∠ABP＝∠GEP,又△ABP的外接圆、△EGP的外接圆是等圆,∴PA＝PG.
显然有：PC－PG＝GC,而PG＝PA、GC＝√2CE,∴PC－PA＝√2CE.
第二个问题：PA－PC＝√2CE.
［证明］
延长EP交AD于M,过E作EN⊥CE交AC的延长线于N.
∵ABCD是正方形,∴∠ACD＝45°,∴∠ECN＝45°,又EN⊥CE,∴∠N＝45°、CN＝√2CE.
∵ABCD是正方形,∴BC⊥EC、∠ECP＝∠BCP＝45°.
∵BC⊥EC、BP⊥EP,∴B、C、E、P共圆,又∠ECP＝∠BCP,∴EP＝BP.
∵ABCD是正方形,∴∠BAP＝45°.
∵∠BAP＝∠ENP＝45°、BP＝EP,∴△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆.
∵ABCD是正方形,∴AM⊥BA,又PM⊥PB,∴A、B、P、M共圆,∴∠DMP＝∠ABP.
∵ABCD是正方形,∴MD⊥CE,又EN⊥CE,∴MD∥EN,∴∠DMP＋∠NEP＝180°,
∴∠ABP＋∠NEP＝180°,又△ABP的外接圆、△NEP的外接圆是等圆,∴PA＝NP.
显然有：NP＝PC＋CN,∴NP－PC＝CN,又NP＝PA、CN＝√2CE,∴PA－PC＝√2CE.