如图在四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，（1）如果AD∥BC，AD=BC．观察猜想DF与BE之间的关系，并证明你的猜想；（2）如果AB=7，BE=4．求线段BO的取值范围．

Question

如图在四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，
（1）如果AD∥BC，AD=BC．观察猜想DF与BE之间的关系，并证明你的猜想；
（2）如果AB=7，BE=4．求线段BO的取值范围．

Answer 1

（1）猜想：平行且相等
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵点E、点F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OF，
∵在△DOF和△BOE中，

DO＝BO

∠BOE＝∠DOF

OF＝OE

，
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴DF=BE，∠FDO=∠EBO，
∴DF∥BE，
即DF与BE之间的关系为平行且相等；

（2）在△ABE中，∵AB=7，BE=4，
∴3＜AE＜11，
∵AO＜AB，
∴6＜2AE=AO＜7，
∴6＜AO＜7，
在△ABO中，
1＜OB＜13，
在△BEO中，OB＜4，即1＜OB＜4．

DO＝BO

∠BOE＝∠DOF

OF＝OE

DO＝BO

∠BOE＝∠DOF

OF＝OE

DO＝BO

∠BOE＝∠DOF

OF＝OE

DO＝BO

∠BOE＝∠DOF

OF＝OE

DO＝BODO＝BODO＝BO∠BOE＝∠DOF∠BOE＝∠DOF∠BOE＝∠DOFOF＝OEOF＝OEOF＝OE，
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴DF=BE，∠FDO=∠EBO，
∴DF∥BE，
即DF与BE之间的关系为平行且相等；

（2）在△ABE中，∵AB=7，BE=4，
∴3＜AE＜11，
∵AO＜AB，
∴6＜2AE=AO＜7，
∴6＜AO＜7，
在△ABO中，
1＜OB＜13，
在△BEO中，OB＜4，即1＜OB＜4．