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设三元二次型f（x1，x2，x3）=xTAx的负惯性指数为q=1，且二次型的矩阵A满足A2-A=6E，则二次型xTAx在正交变换下的标准形是（）A．2y12+2y22-3y32B．3y12+3y22-2y32C．y12+y22-y32D．3y12-2y32
题目详情
设三元二次型f（x1，x2，x3）=xTAx的负惯性指数为q=1，且二次型的矩阵A满足A2-A=6E，则二次型xTAx在正交变换下的标准形是（ ）
A．2y12+2y22-3y32
B．3y12+3y22-2y32
C．y12+y22-y32
D．3y12-2y32
A．2y12+2y22-3y32
B．3y12+3y22-2y32
C．y12+y22-y32
D．3y12-2y32
▼优质解答
答案和解析
设λ为A的一个特征值．
由已知条件可得，λ满足λ2-λ-6=0，
故A可能的特征值为3，-2．
因为A的负惯性指数为1，
所以A只能有一个负特征值（包含重数），
故A的所有特征值为3，3，-2，
所以二次型的标准形为3y12+3y22−2y32．
故选：B．
设λ为A的一个特征值．
由已知条件可得，λ满足λ2-λ-6=0，
故A可能的特征值为3，-2．
因为A的负惯性指数为1，
所以A只能有一个负特征值（包含重数），
故A的所有特征值为3，3，-2，
所以二次型的标准形为3y12+3y22−2y32．
故选：B．
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