在平面直角坐标系中，已知三点A（-2，0）、B（2，0）C(1，3)，△ABC的外接圆为圆，椭圆x24+y22=1的右焦点为F．（1）求圆M的方程；（2）若点P为圆M上异于A、B的任意一点，过原点O作PF的垂线交

Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（-2，0）、B（2，0）C(1，√(3))，△ABC的外接圆为圆，椭圆(x2)/(4)+(y2)/(2)=1的右焦点为F．
（1）求圆M的方程；
（2）若点P为圆M上异于A、B的任意一点，过原点O作PF的垂线交直线x=2√(2)于点Q，试判断直线PQ与圆M的位置关系，并给出证明．

Answer 1

（1）法一设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因为圆M过A，B，C，
所以

(-2)2-2D+F=0

22+2D+F=0

1+3+D+√(3)E+F=0

（4分）
解得D=E=0，F=-4，故圆M方程为x²+y²=4．（6分）
解法二：由题意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，√(3))，
所以K_AC=(√(3))/(3)，KBC=-√(3)，则K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，（4分）
所以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，故其方程为x²+y²=4．（6分）
（2）直线PQ与圆M相切．
下证明这个结论：由椭圆E的方程(x2)/(4)+(y2)/(2)=1，可知F(√(2)，0)，（8分）
设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则y₀²=4-x₀²．
当x₀=√(2)2时，P(√(2)，±

作业帮用户 2017-09-18

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