（2014•南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为1+22a1+22a．

Question

（2014•南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为

(1+√(2))/(2)a

(1+√(2))/(2)a

．

Answer 1

如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知 (1)/(2)×AC×BC=(1)/(2)×AC×OE+(1)/(2)×BC×OF，
∴OE=OF=(1)/(2)a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割线定理可得BF²=BH•BG，
∴(1)/(4)a²=BH（BH+a），
∴BH=(−1+√(2))/(2)a或BH=(−1−√(2))/(2)a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴(OE)/(OH)=(BD)/(BH)，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+(−1+√(2))/(2)a=(1+√(2))/(2)a．
故答案为：(1+√(2))/(2)a．