指数函数可否与y=x有交点列举出具体的有交点的情况.及出现这类情况的条件.我没说明白……是底数大于1的时候。应该是可以有交点的。具体情况？

Question

指数函数可否与y=x有交点
列举出具体的有交点的情况.及出现这类情况的条件.
我没说明白……
是底数大于1的时候。
应该是可以有交点的。
具体情况？

Answer 1

这个最好用导数来解释,实际上是a^x-x=0的问题.
a>1时,f(x)=a^x-x,导数是a^x*ln(a)-1,在x>0时不一定恒为正,导数变化两种可能,一是先负后正,二是一直正.对于第二种情况,f(x)单调增,而f(0)=a^0=1>0,即f(x)恒大于0,a^x-x=0无解,所以此时无交点.第一种情况你可以类推分析,则可能是有一个交点或两个交点.
但a^x-x=0这个方程直接解是在初等数学里不能的一个问题,所以a在哪个区间内是两个交点,等于几是一个交点是解不出来的,但可以举例说明一下：比如a=1.1时,1.1^0>0,1.1^340,可以说明在区间[0,40]内,y=1.1^x与y=x有两个交点.
而0