已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．（1）求证：△EHG是等腰直角三角形；（2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P

Question

已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．
（1）求证：△EHG是等腰直角三角形；
（2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，
∴CE=AE-AC=(1)/(2)AB-(1)/(2)AP=(1)/(2)（AB-AP）=(1)/(2)BP=DP．（1分）
∴CE+EP=DP+EP，即CP=DE．
∵四边形CPFG和PDHK都是正方形，
∴在△CEG和△DHE中，
CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°．
∴△CEG≌△DHE．（2分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
而∠EGC+∠CEG=90°，
∴∠HED+∠CEG=90°．
∴∠GEH=90°．
又∵EG=HE，
∴△EHG是等腰直角三角形．（3分）

（2）△EHG还是等腰直角三角形．（4分）
理由如下：
连接CE、ED，
∵点C、D、E分别是AP、PB及AB的中点，
∴CE∥PB，DE∥AP，
∴四边形CEDP是平行四边形，
∴∠PCE=∠PDE．
进而得∠GCE=∠EDH，
再由CE=(1)/(2)BP=DP=DH，
CG=CP=(1)/(2)AP=DE，
仍可证△CEG≌△DHE．（5分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
如图，设EG和CP相交于M，
则∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形．（6分）