已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：D=D（p）=ap2，S=S（p）=bp，其中a，b为正常数；而价格p（t）满足方程：dpdt=k[D（p）-S（p）]（k是正常数），且p（0）=1．求：（1）需求量等于

Question

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：D=D（p）=(a)/(p2)，S=S（p）=bp，其中a，b为正常数；而价格p（t）满足方程：(dp)/(dt)=k[D（p）-S（p）]（k是正常数），且p（0）=1．求：
（1）需求量等于供给量时的均衡价格

.

p

；
（2）价格函数p（t）及极限

lim

t→+∞

p（t）．

Answer 1

（1）由D（p）=S（p） 可得，
(a)/(p2)＝bp，
从而，p3＝(a)/(b)．
故需求量等于供给量时的均衡价格

.

p

=

3

(a)/(b)

．
（2）因为(dp)/(dt)=k[D（p）-S（p）]，
所以，
(dp)/(dt)=(ka)/(p2)-kbp，
从而，
p2(dp)/(dt)+kbp³=ka．
令 x=p³，则
(1)/(3)(dx)/(dt)+kbx=ka，
即：(dx)/(dt)+3kbx=3ka．
利用一阶微分方程的求解公式可得，
x（t）=e^∫-3kbdt（∫3kae^∫3kbdt+C）
=e−3kbt((a)/(b)e3kbt+C)
=(a)/(b)+Ce^-3kbt．
因为y（0）=1，所以x（0）=1，
故 C=1-(a)/(b)，
从而，p³=x（t）=(a)/(b)+(1−(a)/(b))e−3kbt，
p（t）=((a)/(b)+(1−(a)/(b))e−3kbt)(1)/(3)．
当t→+∞时，

lim

t→+∞

p(t)=

lim

t→+∞

((a)/(b)+(1−(a)/(b))e−3kbt)(1)/(3)
=

作业帮用户 2017-10-27

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问题解析

（1）由D（p）=S（p） 即可求得均衡价格

3

.

p

；（2）由已知条件可得关于p的一阶微分方程，注意到p（0）=1，求解微分方程可得价格函数p（t）的表达式，并可以计算

lim

t→+∞

p(t)．

名师点评

本题考点：

求解微分方程；一阶线性微分方程的求解．

考点点评：

本题考查了微分方程的求解，其中利用了一阶线性微分方程的求解公式．在本题中，比较关键的一步是做变量代换 x=p³，从而得到一个线性微分方程．

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