已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE与点N；（1）若点P在线段AB上运动，如图1、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN的数量关系并证明．（2）若点P在线段AD

Question

已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE与点N；
（1）若点P在线段AB上运动，如图1、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN 的数量关系并证明．
（2）若点P在线段AD上运动、（不与A、D重合），在图2中画出图形，猜想线段PC、PN 的数量关系并证明
（3）总结：若点P在直线AB上运动、（不与A、B、D重合），线段PC、PN 的数量关系会保持不变吗？（不需要写出证明过程）

Answer 1

（1）PC=PN；理由如下：
如图1所示，在AC上截取AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=PA，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，在△PCF和△PNA中，

∠CPF=∠APN

PF=PA

∠PFC=∠PAN

，
∴△PCF≌△PNA（ASA），
∴PC=PN；
（2）PC=PN；理由如下：
当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC=PN；
过P作AC的平行线交BC的延长线于F，如图2所示：
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠CPN=60°，
∴∠NPF=60°-∠FPC，
∵∠BPC=60°-∠CPF，
∴∠NPF=∠BPC，
∵∠F=∠PAN=60°，
∴∠FCP=∠APN=60°+∠APC，
在△PCF和△NPA中，

∠F=∠NAP

∠FCP=∠APN

CF=AP

，
∴△PCF≌△NPA（AAS），
∴PC=PN；
（3）线段PC、PN的数量关系保持不变；
无论点P在AB上哪个点，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的数量关系不变．