f(x)是首项系数为1的n次整系数多项式,a1..an是n个两两不同的整数,且f(ai)=-1求证f（x）在有理数域上不可约

Question

f(x)是首项系数为1的n次整系数多项式,a1..an是n个两两不同的整数,且f(ai)=-1求证f（x）在有理数域上不可约

Answer 1

f(a_i)=-1,i=1...n
所以f（x）+1=0有n个不同的整数根a1..an,且[f（x）+1]首1
假设f（x）在有理数域上可约,不妨设f（x）=g（x）h（x）,其中g（x）,h（x）属于Q[x],次数都小于n,并且首1,则可知g（x）,h（x）一定属于Z[x],
所以g（x）h（x）=-1有n不同的整数根a_i,i=1..n

又因为g（a_1）h（a_1）=-1
所以g（a_1）+h（a_1）=0
所以以此下去得到g（x）+h（x）=0有n个不同的整数根,根据假设g（x）+h（x）次数小于n,这显然是不可能的.