已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m-3）x+m2+1=0的两个根．（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是3，试求m的值．

Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x₁，x₂为对角线的菱形边长是√(3)，试求m的值．

Answer 1

（1）由题意得△=[2（m-3）]²-4（m²+1）=32-24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△>0，
即32-24m>0，解得m<(4)/(3)，
即m<(4)/(3)时，方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-2（m-3），x₁•x₂=m²+1．
∵x₁，x₂为菱形的对角线，
∴x₁，x₂互相垂直并且平分，
∴（(1)/(2)x₁）²+（(1)/(2)x₂）²=3，
∴x₁²+x₂²=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴[-2（m-3）]²-2（m²+1）=12，
∴m²-12m+11=0，
解得，m₁=1，m₂=11．
∵m<(4)/(3)，
∴m₂=11不合题意，舍去，
∴m的值为1．