在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a>0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a=．

Question

在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a>0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a=___．

Answer 1

如图，设A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），则：
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4；
∴AB=5；
过O作OD⊥AB，垂足为D，并连接CD，则：3•4=5•OD；
∴OD=(12)/(5)；
∵OC⊥平面OAB，OD⊆平面OAB，且OD⊥AB；
∴根据三垂线定理得：CD⊥AB；
∴∠ODC是平面ABC和平面OAB所成二面角的平面角，根据题意知该角为45°；
∴OC=OD=(12)/(5)；
∴a=(12)/(5)．
故答案为：(12)/(5)．