在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过M作直线交另一边于N，使截得的三角形与原三角形相似，求MN长．

Question

在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过M作直线交另一边于N，使截得的三角形与原三角形相似，求MN长．

Answer 1

如图，①点N在AC上，若AM和AB是对应边，
∵△AMN∽△ABC，
∴(AM)/(AB)=(MN)/(BC)，
即(3)/(9)=(MN)/(12)，
解得MN=4，
若AM和AC是对应边，
∵△AMN∽△ACB，
∴(AM)/(AC)=(MN)/(BC)，
即(3)/(6)=(MN)/(12)，
解得MN=6；
②点N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，
若BM和AB是对应边，
∵△MBN∽△ABC，
∴(BM)/(AB)=(MN)/(AC)，
即(6)/(9)=(MN)/(6)，
解得MN=4，
若BM和BC是对应边，
∵△NBM∽△ABC，
∴(BM)/(BC)=(MN)/(AC)，
即(6)/(12)=(MN)/(6)，
解得MN=3，
综上所述，MN的长为3或4或6．