A与B相似,A可逆,以下结论错误的是（A）A^T与B^T相似（B）A^-1与B^-1相似（C）A^k与B^k相似（D）AB与BA相似

Question

A与B相似,A可逆,以下结论错误的是
（A）A^T与B^T相似（B）A^-1与B^-1相似（C）A^k与B^k相似（D）AB与BA相似

Answer 1

选 (D)
因为 A,B 相似,所以存在可逆矩阵P 满足 P^-1AP=B
(A) 两边取转置得 P^TA^T(P^-1)^T = B^T
所以 P^TA(P^T)^-1 = B^T,故 A^T 与 B^T 相似.
(B) 两边取逆得 P^-1A^-1P = B^-1,所以A^-1与B^-1相似
(C) 两边取k次幂得 B^k = (P^-1AP)^k = P^-1A^kP
所以 A^k与B^k相似.