为何一个矩阵A和一个矩阵B相似的话,A的迹就会等于B的迹?即为何会有trA=trB?另外A和B的特征多项式又为何相等?请给我解释下原因,我想知道是怎么推出来的,

Question

为何一个矩阵A和一个矩阵B相似的话,A的迹就会等于B的迹?即为何会有trA=trB?另外A和B的特征多项式又为何相等?请给我解释下原因,我想知道是怎么推出来的,

Answer 1

由A与B相似,存在可逆矩阵P ,满足 A = P^-1BP
所以 | A-xE | = |P^-1BP - xE| = |P^-1(B - xE)P| = |P^-1| |B - xE| |P| = |B - xE|
所以 A与B的特征多项式相等.
考虑 |A-xE| = (x1-x)(x2-x).(xn-x),xi 是A的特征值(重根按重数计)
(-x)^(n-1) 的系数:
在 |A-xE| 这个行列式中,(-x)^(n-1) 的系数必在 (a11-x)(a22-x)...(ann-x) 中
所以有 A的特征值之和 = tr(A)
而B与A有相同的特征多项式,所以 A与B 有相同的特征值
所以 tr(A) = A的特征值之和 = B的特征值之和 =tr(B)