（2014•西城区模拟）（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形（记此圆为W），PA⊥平面ABCD，PA=BD=2，AD=CD=3．（1）当AC是圆W的直径时，求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）当BD是圆W的直径

Question

（2014•西城区模拟）（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形（记此圆为W），PA⊥平面ABCD，PA=BD=2，AD=CD=√(3)．
（1）当AC是圆W的直径时，求证：平面PBC⊥平面PAB；
（2）当BD是圆W的直径时，求二面角A-PD-C的余弦值；
（3）在（2）的条件下，判断棱PA上是否存在一点Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AC是圆的直径，∴AB⊥CB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）过A作AK⊥平面PCD，垂足为K，
过A在面PAD内，作AM⊥PD，连KD，
则KD⊥PD，故∠AMK为二面角A-PD-C的平面角，
在直角三角形PAD中，PA=2，AD=√(3)，PD=√(7)，
AM=(2√(3))/(√(7))，
设AK=d，则V_P-ACD=V_A-PCD，
(1)/(3)PA•(1)/(2)•AD•S_△ACD=(1)/(3)AK•S_△PCD，
∵PA=BD=2，AD=CD=√(3)，BD是圆W的直径，
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=30°，
△CBD为直角三角形，且∠CDB=30°，
∴△ACD为等边三角形，S_△ACD=(3√(3))/(4)，
在直角三角形PAC中，PC=√(4+3)＝√(7)，
∴S_△PCD=(1)/(2)•√(3)•√(7−(3)/(4))=(5√(3))/(4)，
∴(1)/(3)•2•(3√(3))/(4)＝(1)/(3)•AK•(5√(3))/(4)即AK=(6)/(5)，
又AM=(2√(3))/(√(7))，sin∠AMK=((6)/(5))/((2√(3))/(√(7)))=(√(21))/(5)，
∴cos∠AMK=(2)/(5)；
（3）在（2）的条件下，假设棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，
在面PAD内，过Q作QN∥PD，交AD于N，连接BN，则QN∥平面PCD，
∴平面QBN∥平面PCD，BN∥CD，
∴在直角△ABN中，∠ANB=60°，AN=(√(3))/(3)，
∴在三角形PAD中，(AQ)/(AP)＝(AN)/(AD)=(1)/(3)，
∴AQ=(2)/(3)．
∴在（2）的条件下，棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，且AQ=(2)/(3)．