在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60度,点E为PC的终点.1.求以四边形ABCD的外接圆为地面,以点P为顶点的圆锥的体积2.求以面直线PA与BE所成角的值3.求二面角C—PB—D的正弦值

Question

在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60度,点E为PC的终点.
1.求以四边形ABCD的外接圆为地面,以点P为顶点的圆锥的体积
2.求以面直线PA与BE所成角的值
3.求二面角C—PB—D的正弦值

Answer 1

1） 设正方形ABCD的中心为O.则PO垂直于底面,角PAO就是直线PA与底面的角,所以角POA=60度.且三角形PAC为边长为2 的正三角形.AC=2就是圆锥的直径.圆锥的高PO=√3,
圆锥的体积＝1/3×π×r²×h＝1/3×π×1²×√3＝√3·π／3.
2) 连结EO,则EO∥PA,EO＝½PA＝1,据异面直线所成的角的定义,可知∠BEO就是所求.
在三角形BEO 中,BO＝AO＝½PA＝1,EO＝1,注意到BO⊥AO,且BO⊥PO,∴BO垂直于
这两条相交直线所确定的平面PAO,所以OE就是BE在此平面上的射影,由以上的数据,可知
角BEO=45度,所以异面直线PA与BE所成的角为45度.
3） 引OF垂直于PB交PB于F,连CF,由于CO垂直于平面PBD,所以角CFO就是所求的二面角的平面角.在三角形BOP中易得OF=√3／2,∵CO=1,所以在直角△COF中用勾股定理易得
CF=√7／2,∴sin∠CFO=CO/CF＝2√7／7,答：正弦值为2√7／7.