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△ABC是等边三角形,D是三角形外一动点,满足∠ADB=60°.(1)如图①,当D点在AC的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB;(2)如图②,当D点不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成
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△ABC是等边三角形,D是三角形外一动点,满足∠ADB=60°.

(1)如图①,当D点在AC的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB;
(2)如图②,当D点不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

(1)如图①,当D点在AC的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB;
(2)如图②,当D点不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵D点在AC的垂直平分线上,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠DAC=30°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°,
∴BD=2AD=AD+CD;
(2)成立.
理由:在DB上截取DE=AD,
∵∠ADB=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴AE=AD,∠EAD=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△BAE和△CAD中,
,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD,
∴BD=DE+BE=AD+CD.
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠DAC=30°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°,
∴BD=2AD=AD+CD;

理由:在DB上截取DE=AD,
∵∠ADB=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴AE=AD,∠EAD=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△BAE和△CAD中,
|
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD,
∴BD=DE+BE=AD+CD.
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