在二项式（x-123x）n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项的系数；（Ⅱ）设（x-123x）n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求

Question

在二项式（x-(1)/(23x)）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（Ⅱ）设（x-(1)/(23x)）ⁿ展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p+q．

Answer 1

前三项系数的绝对值分别是1，(n)/(2)，(n(n-1))/(8)．
由题设可知：2×(n)/(2)=1+(n(n-1))/(8)，
整理得：n²-9n+8=9，解得n=8或n=1（舍去）．
通项公式是T_r+1=C₈^r（-(1)/(2)）^rx8-(4r)/(3)．
（I）因为n=8，所有展开式共有9项，所以第5项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项的系数是C₈⁴（-(1)/(2)）⁴=(35)/(8)．
（II）令8-(4r)/(3)=0得r=6，所以常数项是T₇=(7)/(16)，即p=(7)/(16)．
令x=1，展开式中所有项的系数和为（(1)/(2)）⁸=(1)/(256)，即q=(1)/(256)．
所以，p+q=(113)/(256)．