二项式（2x+x3）n的展开式中，第4项的二项式系数是第3项的二项式系数的2倍．（Ⅰ）求n的值，并求所有项的二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中的常数项．

Question

二项式（(2)/(x)+x³）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是第3项的二项式系数的2倍．
（Ⅰ）求n的值，并求所有项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中的常数项．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得

C

3 n

=2

C

2 n

，∴n=8，故所有项的二项式系数的和为2⁸=256．
（Ⅱ）由题意可得通项公式为T_r+1=

C

r 8

•2^8-r•x^4r-8，令4r-8=0，求得r=2，
可得展开式中的常数项为

C

2 8

•2⁶=1792．