求多项式的项数的公式如（a+b+c+d）的10次方有多少项?有公式直接计算吗?求多项式项数的各系数？要有一定规律的。如（a+b)的10次方.可以用二项式定理。求（a+b+c+d+e)的15次方的各系数？

Question

求多项式的项数的公式
如（a+b+c+d）的10次方有多少项?有公式直接计算吗?
求多项式项数的各系数？要有一定规律的。
如（a+b)的10次方.可以用二项式定理。求（a+b+c+d+e)的15次方的各系数？

Answer 1

公式没总结出来
方法如下：把10分割成4个非负整数之和,4个数不可交换顺序（即交换顺序看做不同的组合）如10+0+0+0,0+10+0+0,这样一直写下去,写完后数下有多少个式子就有多少项.你的(a+b+c+d)^10太多了,举个简单点的(a+b+c)^3有多少项?
把3分成3个非负整数的和：
3=3+0+0=0+3+0=0+0+3=1+2+0=2+1+0=1+0+2=2+0+1=0+1+2=0+2+1=1+1+1
有10种方法,所以(a+b+c)^10有10项
这种方法还有个好处,可以方便计算各项系数：比如计算bc^2这样的系数.
bc^2=a^0b^1c^2,对应的分解为0+1+2,那么系数为3!/(0!1!2!)=3(分母是幂的阶乘,你的例子就是10!了,分子为该项对应字母的幂的阶乘之积）,所以该项为3bc^2.这是多项式定理!
我不知道分割整数是否有公式,所以不能总结出计算项数之公式.但该法是通用方法.
LZ,只学过二项式吧,哈哈!